Fourier

[RDoherty]

Ωραίο animation: ο τετραγωνικός παλμός όπως αναπαρίσταται από 1 μέχρι και 25 αρμονικές:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/Synthesis_square.gif

 

[costas EAR]

Απάντηση: Fourier

:145::145::145:

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

:145::145::145:

Μην ξεχνάς να ευχαριστήσεις και τα...γεμιστά μπισκότα Fourier:144:
http://www.avsite.gr/vb/showpost.php?p=1126157&postcount=161

 

[costas EAR]

Απάντηση: Fourier

Μην ξεχνάς να ευχαριστήσεις και τα...γεμιστά μπισκότα Fourier
http://www.avsite.gr/vb/showpost.php?p=1126157&postcount=161

:143::135::143:

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

 

[costas EAR]

Απάντηση: Fourier

RDoherty........

 

[NIKNM]

γεμιστα μπισκοτεν..!!

μου αρεσουν τα γεμιστα μπισκοτα με τον πρωινο μου espresso :136:

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

δε φαίνονται οι εικόνες βρεεεεεεεεεε.......

Ο φυσικομαθηματικός Jean Baptiste Fourier απέδειξε ότι οποιαδήποτε συνεχής συνάρτηση μπορεί ν'αναπαραχθεί ως το απειροσύνολο ημιτονικών και συνημιτονικών κυμάτων.Σύμφωνα με τούτο το θεώρημα,κάθε συνάρτηση χρόνου h(t) δύναται να μετασχηματιστεί σε συνάρτηση συχνότητας H(f) καθώς και το αντίστροφο,με βάση τις εξής εξισώσεις:
ορθός μετασχηματισμός Fourier H(f)=F{h(t)}---> H(f)=Ολοκλήρωμα[-άπειρο -> +άπειρο] h(t){συνημίτονο(2πft)-J*ημίτονο(2πft)}dt
αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier h(t)=F^-1 {H(t)}---> h(t)=Ολοκλήρωμα[-άπειρο -> +άπειρο] H(f){συνημίτονο(2πft)+J*ημίτονο(2πft)}df
όπου ΄΄J΄΄ αντιπροσωπεύει μιά φανταστική μονάδα(την τετραγωνική ρίζα του ΄΄-1΄΄) η οποία χρησιμεύει γιά να εκφράσει τη διαφορά φάσης μεταξύ των ημιτονικών και συνημιτονικών συνιστωσών των κυμάτων.

Η πρακτική αξία του θεωρήματος Fourier στην ακουστική έγκειται στο ότι κάθε σήμα δύναται ν'ανασυντεθεί με υψηλή πιστότητα από πεπερασμένο έως άπειρο πλήθος ημιτονικών συνιστωσών.Επειδή συνημίτονο(χ)=ημίτονο(π/2 + Χ),οι συνημιτονικές συνιστώσες λογαριάζονται ως ημιτονικές που βρίσκονται σε διαφορά φάσης 90 μοιρών.Η πρώτη κατηγορία σημάτων περιλαμβάνει περιοδικά άπειρης διάρκειας,ενώ η δεύτερη περιοδικά πεπερασμένης διάρκειας είτε μη περιοδικά σήματα γενικώς.Μιά περιοδική συνάρτηση υφίσταται ανάλυση Fourier με την εξαγωγή σειρών ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών τα οποία υπερτιθέμενα μεταξύ τους θα την αναπαράγουν.Τούτη η διαδικασία εκφράζεται ως ΄΄Σειρά Fourier΄΄.

Μιά συνεχής περιοδική συνάρτηση f(t) με περίοδο ΄΄Τ΄΄ προσεγγίζεται ικανοποιητικά μ'ένα ανάπτυγμα Fourier:

με τους συντελεστές να δίδονται από τους εξής τύπους:

Μη ημιτονικά σήματα που υπάγονται στην πρώτη κατηγορία δύνανται ν'αναλυθούν σε αθροίσματα πεπερασμένων έως απείρων συνιστωσών:οι αποκαλούμενες ΄΄σειρές(αναπτύγματα) Fourier΄΄ αποδίδονται με την εξής γενική εξίσωσή:
h(t)=(Ao/2)+ολοκλήρωμα[n=1 -> άπειρο ]{An συνημίτονο(2πnft)} + Ολοκλήρωμα[m=1 -> άπειρο]{Bm ημίτονο(2πmft)} ,όπου ΄΄Ao΄΄ συμβολίζει τη συνεχή συνιστώσα, ΄΄A1,A2...An΄΄ & ΄΄B1,B2...Bm΄΄ τα πλάτη των συνημιτονικών/ημιτονικών συνιστωσών,΄΄f΄΄ τη θεμελιώδη συχνότητα και ΄΄2f,3f...΄΄με (n,m>1) αντιπροσωπεύουν τις αρμονικές(ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους).

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

Ο ταχύς μετασχηματισμός Fourier(Fast Fourier Transform) είναι μαθηματική μέθοδος χρήσιμη γιά τη μετατροπή μιάς συνάρτησης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας.Παράδειγμα εφαρμογής του συγκεκριμένου αποτελεί πρώτα απ'όλα το ίδιο το ακουστικό μας σύστημα,το οποίο έχει την ικανότητα να κατανέμει την ενεργειακή στάθμη κάθε ήχου(χρονικά μεταβαλλόμενο φαινόμενο) επί του φάσματος συχνοτήτων.Τα παρακάτω παραδείγματα απεικονίζουν τον ήχο λονδρέζικης αστυνομικής σφυρίχτρας στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας.Εκάστοτε ζεύγος γραφημάτων περιλαμβάνει την παράσταση της αποδιδομένης τάσης του σήματος από το μικρόφωνο σύλληψης συναρτήσει του χρόνου(μπλέ ζώνη) και ακολούθως τον αντίστοιχο μετασχηματισμό βραχέως χρόνου(κίτρινη ζώνη):

Το άνω αριστερό ζεύγος γραφημάτων αντιπροσωπεύει τον αυλό ΄΄Α΄΄.Από το μετασχηματισμό συνάγεται ότι το μεγαλύτερο μέρος της ηχητικής ενέργειας κατανέμεται σ'ένα μονάχα τονικό ύψος,προσεγγίζοντας ένα ημιτονικό κύμα(καθαρός τόνος) δίχως βέβαια να ταυτίζεται με το δεύτερο.Το άνω δεξιά ζεύγος αναπαριστά τον ήχο του αυλού ΄΄Β΄΄.
Το παρακάτω ζεύγος γραφημάτων αναπαριστά την ταυτόχρονη συνήχηση των δύο διαφορετικών αυλών της σφυρίχτρας.Το γράφημα της κυματομορφής δείχνει το χαρακτηριστικό μοτίβο διακροτήματος(παλμού) που προκύπτει από το συνδυασμό Α και Β,ενώ εκείνο του μετασχηματισμού τα δύο διακριτά συχνοτικά ύψη καθένα προερχόμενο από τον αντίστοιχο αυλό.Το πολύπλοκο μοτίβο της αναπαράστασης στο πεδίο του χρόνου έχει απλοποιηθεί χάρη στο μετασχηματισμό αναδεικνύοντας την ηγεμονία των δύο κύριων συχνοτικών συνιστωσών:

http://www.ece.ucy.ac.cy/courses/ece429/lectures/HMY429_9.pdf

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

Παραδείγματα σειρών Fourier τυπικών περιοδικών κυμάτων(κυματομορφών)
χ=2πft
Τετραγωνικό σήμα: h(t)=4{(ημίτονο χ/1)+(ημίτονο 3χ/3)+(ημίτονο 5χ/5)+...}

Τριγωνικό σήμα: h(τ)=(π/2)-(4/π){(συνημίτονο χ/1^2)+(συνημίτονο 3χ/3^2)+(συνημίτονο 5χ/5^2)+...}

Πριονωτό σήμα: h(t)=2{(ημίτονο χ/1)-(ημίτονο 2χ/2)+(ημίτονο 3χ/3)-(ημίτονο 4χ/4)+(...)-(...)}

Η συμμετρία της κυματομορφής του τετραγωνικού και του πριονωτού σήματος ως προς τον άξονα του χρόνου,φανερώνει ότι αυτά δεν περιλαμβάνουν συνεχή συνιστώσα.
Τα ημιτονοειδή είναι απλές κυματομορφές καθαρών τόνων(ημιτονικά σήματα) από το συνδυασμό των οποίων προκύπτουν σύνθετα κύματα.Προσθέτοντας επιλεγμένους ως προς το συχνοτικό ύψος καθαρούς τόνους έχοντες την κατάλληλη ενεργειακή στάθμη-καθοριζόμενη από τη σχετική ανάλυση Fourier-και φάση αναμεταξύ τους μπορούν να δημιουργηθούν τετράγωνα,τριγωνικά και πριονωτά κύματα όπως και ευρεία ποικιλία μη ημιτονοειδών κυματομορφών.Η συγκεκριμένη Αρχή ΄΄Προσθετικής Σύνθεσης΄΄ εφαρμόζεται και από τα ηχοσυστήματά μας.Ο ήχος εκάστοτε ακουστικού οργάνου μιάς ορχήστρας συνίσταται από μιά θεμελιώδη και σειρά αρμονικών(με συχνοτικά ύψη ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους) και προκύπτει από συνολική υπέρθεση των επιμέρους κυματομορφών.
Το φάσμα των σύνθετων κυματομορφών περιλαμβάνει τη θεμελιώδη και αρμονικές(ακέραια πολλαπλάσια) συχνοτικές συνιστώσες,με το σύνθετο σχήμα να καθορίζεται από το πλήθος,τον τύπο τα σχετικά πλάτη και φάση αυτών.όσο μεγαλύτερη η κλίση των σκελών της,τόσο μεγαλύτερο το πλήθος των αρμονικών που συνθέτουν την κυματομορφή.Στο επόμενο παράδειγμα,η προσθήκη εκάστης ανώτερης αρμονικής αυξάνει το πλάτος της συνισταμένης και κάνει τα σκέλη της πιό επικλινή.Οι κυματομορφές της 3ης,7ης,11ης,κ.ο.κ. αρμονικών συνιστωσών διέρχονται από το μηδενικό σημείο αναφοράς στο τέλος της περιόδου με διαφορά φάσης 180 μοιρών(ανάστροφη φάση) σε σχέση με τη θεμελιώδη,ενώ οι αντίστοιχες της 5ης,9ης,13ης,κ.ο.κ. το διασχίζουν σε φάση με τη θεμελιώδη.

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

Στο παρακάτω γράφημα,απεικονίζεται τετραγωνικό σήμα(μη ημιτονοειδές κι εναλασσόμενο εξ ορισμού μεταξύ δύο τιμών μηδενικού και πλάτους κορυφής) μαζί με το ημιτονοειδές ΄΄Κ΄΄ που αντιστοιχεί στην ίδια(θεμελιώδη) συχνότητα με το πρώτο.Με την υπέρθεση(και τη συνεπαγόμενη αλγεβρική προσθήκη των αντιστοίχων στιγμιαίων τιμών) του ημιτονοειδούς ΄΄L΄΄ που βρίσκεται σε τριπλάσιο τονικό ύψος(τρίτη αρμονική) και στο ένα τρίτον του πλάτους από το ΄΄Κ΄΄,προκύπτει η κυματομορφή ΄΄Μ΄΄.Προσθέτοντας ακολούθως την πέμπτη αρμονική συνιστώσα ΄΄Ν΄΄ (με πλάτος το ένα πέμπτον της ΄΄Κ΄΄) προκύπτει η νέα καμπύλη ΄΄Ρ΄΄ ενώ με την αντίστοιχη προσθήκη της εβδόμης αρμονικής ΄΄Q΄΄(πλάτους 1/7 της ΄΄Κ΄΄) καταλήγουμε στην καμπύλη ΄΄R΄΄.Όσο αυξάνει το πλήθος των περιττών αρμονικών που υπερτίθενται(με τις ανάλογες ταπεινώσεις στο πλάτος),τόσο πιστότερα προσεγγίζει η προκύπτουσα σύνθετη κυματομορφή το σχήμα του τέλειου τετραγωνικού παλμού-ο οποίος συντίθεται από άπειρο πλήθος περιττών αρμονικών.Κατά τη σύνθεση τετραγωνικών σημάτων,οι περιττές αρμονικές συνιστώσες στο σύνολό τους διασχίζουν το σημείο αναφοράς ΄0΄ ούσες στην ίδια φάση με τη θεμελιώδη.Εν κατακλείδι,το τετραγωνικό σήμα αποτελείται από το ημιτονικό σήμα της θεμελιώδους καθώς και από εκείνα των αρμονικών με συχνοτικό ύψος 3πλάσιο,5πλάσιο,7πλάσιο,κ.ο.κ. της θεμελιώδους και πλάτος που βαίνει συνεχώς μειούμενο αντίστροφα προς την τάξη της αρμονικής.

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

Τα τριγωνικά σήματα αποτελούνται επίσης από περιττές αρμονικές συνιστώσες,με τη διαφορά ότι η στάθμη των αρμονικών ανώτερης τάξης που τα συνθέτουν ταπεινώνεται με γρηγορότερο ρυθμό(αντιστρόφως προς τη δεύτερη δύναμη της τάξης εκάστοτε αρμονικής) σε σχέση με τα τετραγωνικά:

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

Τo φάσμα των πριονωτών κυμάτων αποτελείται από συνδυασμό αρτίων και περιττών αρμονικών.Έκαστη ανώτερη σε αύξοντα αριθμό αρμονική,τέμνει στο αντίστοιχο βήμα σύνθεσης το μηδενικό σημείο αναφοράς σε φάση με τη θεμελιώδη.Η συνισταμένη κυματομορφή μοιάζει με τα δόντια ενός πριονιού.

Λόγω του ότι περιέχει το σύνολο των ακέραιων αρμονικών,χρησιμοποιείται ως αφετηρία γιά την απομίμηση μουσικών ήχων(ιδιαίτερα εγχόρδων οργάνων όπως βιολί και βιολοντσέλο) μέσω της διαδικασίας ΄΄αφαιρετικής σύνθεσης΄΄:εφαρμόζοντας κατάλληλα επιλεγμένα βαθυπερατά φίλτρα στην έξοδο γεννήτριας πριονωτού σήματος,εξασθενούνται επιλεγμένες για κάθε περίσταση περιοχές του συχνοτικού φάσματος(αποκοπή ανωτέρων αρμονικών συνιστωσών),ώστε να προσεγγίζεται πιστότερα το ηχόχρωμα του επιθυμητού ακουστικού οργάνου.

Τα σήματα που ανήκουν στη δεύτερη κατηγορία(μη περιοδικά) αναλύονται σε άπειρες ημιτονικές συνιστώσες μη διακριτών συχνοτήτων(συνεχόμενες τιμές).Η ανάλυση επιτυγχάνεται με την εξίσωση του ορθού μετασχηματισμού εφόσον είναι γνωστή η μορφή της συνάρτησης h(t).

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

Τα σήματα που ανήκουν στη δεύτερη κατηγορία(μη περιοδικά) αναλύονται σε άπειρες ημιτονικές συνιστώσες μη διακριτών συχνοτήτων(συνεχόμενες τιμές).Η ανάλυση επιτυγχάνεται με την εξίσωση του ορθού μετασχηματισμού εφόσον είναι γνωστή η μορφή της συνάρτησης h(t).

Η διαδικασία διάσπασης του ήχου ενός μουσικού οργάνου-ή οποιασδήποτε φυσικής διεργασίας εκπεφρασμένης με περιοδική συνάρτηση- στις επιμέρους ημιτονικές/συνημιτονικές του κυματικές συνιστώσες,αποκαλείται κατά Fourier Ανάλυση.Το ηχητικό κύμα δύναται να ταυτοποιηθεί με βάση το πλάτος των επιμέρους συνιστωσών που το αποτελούν.Το σύνολο αυτών των τιμών δεικνύει το αρμονικό περιεχόμενο(αρμονικό φάσμα) του ηχητικού σύματος.

Η γνώση μέσω της ανάλυσης Fourier του αρμονικού περιεχομένου ενός παρατεταμένου μουσικού ήχου συνεπάγεται τη δυνατότητα επανασύνθεσης αυτού με τη χρήση σειράς γεννητριών καθαρού τόνου μέσω ρύθμισης των επιμέρους ενεργειακών σταθμών και των σχετικών φάσεων,ακολουθούμενη φυσικά από την απαραίτητη υπέρθεση μεταξύ τους(προσθετική σύνθεση).Η απόδοση λ.χ. του παρατεταμένου τμήματος(sustain) των μουσικών φθόγγων που εκπέμπει ένα πνευστό όργανο απαιτεί την πιστή αναπαραγωγή σχετικά μικρού πλήθους αρμονικών,μιά και το ενεργειακό περιεχόμενο των φθόγγων κείτεται ως επί το πλείστον στις πρώτες 5 αρμονικές συνιστώσες της θεμελιώδους αυτών.Αντίθετα γιά την πειστική απόδοση της οξείας εφόδου(ατάκας) των μεταλλικών κρουστών ή ραγδαίων μεταβατικών μετώπων γενικά,είναι αναγκαία η πιστή αναπαραγωγή μεγάλου πλήθους αρμονικών συνιστωσών ανωτέρας τάξης καθώς και η επίτευξη εντός απειροελαχίστου χρόνου του υψηλού ενεργειακού περιεχομένου αυτών.H αποκοπή ή αποτυχία ορθής ενσωμάτωσης των ανωτέρας τάξης αρμονικών συνιστωσών που βρίσκονται σε μεγάλα τονικά ύψη έκδηλώνεται ως ΄΄κωδωνισμός΄΄ του αναπαραγομένου σήματος στα σημεία των ραγδαίων μεταπτώσεων της κυματομορφής.Τούτο το φαινόμενο δύναται να υφίσταται τόσο σε υψηλές όσο και σε χαμηλές στάθμες αναπαραγωγής.

Γιά την ανάλυση των πραγματικών σημάτων(τα οποία δεν ταυτοποιούνται με καθορισμένη μαθηματική έκφραση) πραγματοποιείται δειγματοληψία Ν διακριτών τιμών που απέχουν μεταξύ τους κατά το ίδιο πάντα χρονικό διάστημα ΄΄Δt΄΄.Λόγω του μεγάλου πλήθους πράξεων που απαιτούνται γιά τον υπολογισμό των διακριτών τιμών Η(fκ),τα δεδομένα τροφοδοτούνται σε πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή που εκτελεί το μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου (μαθηματική έκφραση του ολοκληρώματος):
H(f[κ])=Ολοκλήρωμα[i=0 ---> N-1](h[ti]){συνημίτονο(2π fκ ti) + J ημίτονο(2π fκ ti} Δt

http://www.ece.ucy.ac.cy/courses/ece429/lectures/HMY429_8.pdf

http://www.eng.ucy.ac.cy/cpitris/courses/ECE623/presentations/Lecture4.pdf

 

[skaloumbakas]

Απάντηση: Fourier

Ωραίο animation: ο τετραγωνικός παλμός όπως αναπαρίσταται από 1 μέχρι και 25 αρμονικές:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0a/Synthesis_square.gif

Θα ήταν καλό, αν γινόταν να κάνεις και pause (freeze) ενδιάμεσα... :113:

RDoherty, σ' επιθύμησα... :143:

Bhutia, είσαι καλύτερος... "ποιητής" από τον RDoherty... :126:

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

Θα ήταν καλό, αν γινόταν να κάνεις και pause (freeze) ενδιάμεσα... :113:

Στην εφαρμογή που παρουσιάζεται με κλικ στο παρόν λινκ,μπορούμε να κάνουμε και κάτι ακόμα καλύτερο

Και μιά ποικιλία από ενδιαφέρουσες εφαρμογές στο παρακάτω λινκ:
http://falstad.com/mathphysics.html

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

Όλα τα σήματα ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς μορφής χαρακτηρίζονται από φάσματα πλάτους και φάσματα φάσεων:
χ(t)=Α1*συνημίτονο{(f1 t)+φ1} +Α2*συνημίτονο{(f2 t)+φ2}+...+Αn*συνημίτονο{(fn t)+φn} ,όπου -άπειρο =< t >= +άπειρο , Α[1,2,...,n]>=0 , f[1,2,...,n]>0 και φ[1,2,...,n]>=0

Η κατανομή πυκνότητας πλάτους(λ.χ. Volt/Hz) ενός σήματος επί του φάσματος συχνοτήτων αναπαριστάται με το αποκαλούμενο ΄΄Φάσμα πλάτους΄΄(Amplitude Spectrum) κι εκφράζεται σαν γραφική παράσταση των πλατών Α[1,2,...,n] των ημιτονικών/συνημιτονικών συντελεστών του σήματος χ(t) ως προς τις κυκλικές συχνότητες f[1,2,...,n].Το δε ΄΄φάσμα φάσεων΄΄ αποτελεί τη γραφική παράσταση των φάσεων φ[1,2,...,n] συναρτήσει των κυκλικών συχνοτήτων f[1,2,...,n]

http://www.eng.ucy.ac.cy/cpitris/courses/ECE623/presentations/Lecture6.pdf

 

[Bhutia]

Απάντηση: Fourier

Η γραφική παράσταση της πυκνότητας ισχύος(Watt/Hz) σε συνάρτηση με τη συχνότητα(Hz) ονομάζεται ΄΄Φάσμα Ισχύος΄΄(Power Spectrum) και συμβολίζει τη διασπορά της ενέργειας του σήματος στο πεδίο της συχνότητας.Κάθε φάσμα ισχύος υπολογίζεται από το τετράγωνο της απολύτου τιμής του αντιστοίχου φάσματος πλάτους.Σε αντίθεση με τα φάσματα πλάτους όμως,δεν περιλαμβάνουν κορυφές με αρνητικά πρόσημα,αφού η ισχύς είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους(οπότε το γινόμενο έχει πάντα θετικό πρόσημο).Οι μονάδες επί του άξονα των συντεταγμένων στα δεύτερα έχουν ιδιαίτερη φυσική σημασία,μιά και συμβολίζουν το ποσοστό της ισχύος ενός σήματος σε συγκεκριμένες συχνοτικές ζώνες.Το φάσμα ισχύος για περιοδικές συναρτήσεις (περιοδικά σήματα) είναι διακριτό και για μη περιοδικά σήματα είναι συνεχές.

http://electronics.physics.auth.gr/tomeas/lectures/shmsys/APOKRISH_SYXNOTHTAS.pdf